الدالة الكسرية هي معادلة تأخذ الصيغة y = N (x) / D (x) حيث N و D كثيرات الحدود. يمكن أن تكون محاولة رسم رسم بياني دقيق لواحد يدويًا مراجعة شاملة للعديد من أهم موضوعات الرياضيات في المدرسة الثانوية من الجبر الأساسي إلى حساب التفاضل. تأمل المثال التالي: y = (2 x 2 - 6 × + 5) / (4 × + 2).
خطوات
الخطوة 1. أوجد نقطة التقاطع y
ببساطة قم بتعيين x = 0. كل شيء ما عدا الحدود الثابتة تختفي ، تاركة y = 5/2. التعبير عن هذا كزوج إحداثي ، (0 ، 5/2) هو نقطة على الرسم البياني. ارسم هذه النقطة.
الخطوة 2. ابحث عن الخط المقارب الأفقي
اقسم المقام طويلًا إلى البسط لتحديد سلوك y لقيم x المطلقة الكبيرة. في هذا المثال ، توضح القسمة أن y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). للقيم الكبيرة الموجبة أو السالبة لـ x ، تقترب 17 / (8 x + 4) من الصفر ، ويقترب الرسم البياني من الخط y = (1/2) x - (7/4). باستخدام خط متقطع أو مرسوم برفق ، ارسم هذا الخط بالرسم البياني.
- إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام ، فلا داعي للقسمة ، والخط المقارب هو y = 0.
- إذا كانت درجة (N) = درجة (D) ، فإن الخط المقارب هو خط أفقي بنسبة المعاملات الأولية.
- إذا كانت درجة (N) = deg (D) + 1 ، فإن الخط المقارب هو الخط الذي يكون ميله هو نسبة المعاملات الأولية.
- إذا كانت درجة (N)> درجة (D) + 1 ، إذن للقيم الكبيرة لـ | x | ، y ينتقل بسرعة إلى ما لا نهاية موجب أو سالب كمتعدد حدود تربيعي أو تكعيبي أو درجة أعلى. في هذه الحالة ، قد لا يكون من المجدي رسم حاصل القسمة بيانيًا بدقة.
الخطوة 3. أوجد الأصفار
يكون للدالة الكسرية صفر عندما يكون بسطها صفرًا ، لذا ضع N (x) = 0. في هذا المثال ، 2 x 2 - 6 × + 5 = 0. ومميز هذه المعادلة التربيعية هو ب 2 - 4 أس = 62 - 4 * 2 * 5 = 36-40 = -4. بما أن المميز سالب ، فإن N (x) وبالتالي f (x) ليس له جذور حقيقية. لا يتقاطع الرسم البياني أبدًا مع المحور x. إذا تم العثور على أي أصفار ، أضف هذه النقاط إلى الرسم البياني.
الخطوة 4. ابحث عن الخطوط المقاربة العمودية
الخط المقارب العمودي يحدث عندما يكون المقام صفراً. ضبط 4 x + 2 = 0 يعطي الخط الرأسي x = -1/2. ارسم كل خط مقارب رأسي بخط خفيف أو متقطع. إذا كانت بعض قيم x تجعل كلاً من N (x) = 0 و D (x) = 0 ، فقد يكون هناك خط مقارب عمودي هناك وقد لا يكون كذلك. هذا نادر الحدوث ، لكن راجع النصائح حول كيفية التعامل معه إذا حدث.
الخطوة 5. انظر إلى باقي القسمة في الخطوة 2
متى يكون موجبًا أم سالبًا أم صفرًا؟ في هذا المثال ، بسط الباقي هو 17 وهو دائمًا موجب. المقام 4 x + 2 موجب على يمين الخط المقارب العمودي وسالب على اليسار. هذا يعني أن الرسم البياني يقترب من الخط المقارب الخطي من أعلاه لقيم موجبة كبيرة لـ x ومن أسفل للقيم السلبية الكبيرة لـ x. بما أن 17 / (8 x + 4) لا يمكن أن تكون صفرًا ، فإن هذا الرسم البياني لا يتقاطع أبدًا مع الخط y = (1/2) x - (7/4). لا تضف أي شيء إلى الرسم البياني الآن ، ولكن لاحظ هذه الاستنتاجات لوقت لاحق.
الخطوة 6. ابحث عن القيم القصوى المحلية
قد يحدث الحد الأقصى المحلي عندما يكون N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. في المثال ، N '(x) = 4 x - 6 and D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 × + 5) * 4 = 0. فك الحدود وضمها والقسمة على 4 أوراق x 2 + x - 4 = 0. توضح الصيغة التربيعية الجذور بالقرب من x = 3/2 و x = -5/2. (هذه تختلف بنحو 0.06 عن القيم الدقيقة ، لكن الرسم البياني الخاص بنا لن يكون دقيقًا بدرجة كافية للقلق بشأن هذا المستوى من التفاصيل. اختيار تقريب منطقي لائق يجعل الخطوة التالية أسهل.)
الخطوة 7. أوجد قيم y لكل حد أقصى محلي
عوض بقيم x من الخطوة السابقة في الدالة الكسرية الأصلية لإيجاد قيم y المقابلة. في المثال f (3/2) = 1/16 و f (-5/2) = -65/16. أضف هذه النقاط (3/2 ، 1/16) و (-5/2 ، -65/16) إلى الرسم البياني. نظرًا لأننا اقتربنا في الخطوة السابقة ، فهذه ليست الحدود الدنيا والحد الأقصى بالضبط ، ولكن من المحتمل أن تكون قريبة. (نعلم أن (3/2 ، 1/16) قريبة جدًا من الحد الأدنى المحلي. من الخطوة 3 ، نعلم أن y دائمًا موجب عندما تكون x> -1/2 ووجدنا قيمة صغيرة مثل 1/16 ، لذلك على الأقل في هذه الحالة ، ربما يكون الخطأ أقل من سمك الخط.)
الخطوة 8. قم بتوصيل النقاط ومدد الرسم البياني بسلاسة من النقاط المعروفة إلى الخطوط المقاربة مع الحرص على الاقتراب منها من الاتجاه الصحيح
احرص على عدم عبور المحور x إلا عند النقاط الموجودة بالفعل في الخطوة 3. لا تعبر الخط المقارب الأفقي أو الخطي إلا عند النقاط الموجودة بالفعل في الخطوة 5. لا تغير من المنحدر لأعلى إلى المنحدر لأسفل إلا عند الحد الأقصى الموجود في الخطوة السابقة.
فيديو - باستخدام هذه الخدمة ، قد تتم مشاركة بعض المعلومات مع YouTube
نصائح
- قد تتضمن بعض هذه الخطوات حل كثير الحدود بدرجة عالية. إذا لم تتمكن من إيجاد حلول دقيقة من خلال التحليل إلى عوامل أو الصيغ أو غيرها من الوسائل ، فقم بتقدير الحلول باستخدام التقنيات العددية مثل طريقة نيوتن.
- إذا اتبعت الخطوات بالترتيب ، فعادةً ما لا يكون من الضروري استخدام اختبارات مشتقة ثانية أو طرق مشابهة قد تكون معقدة لتحديد ما إذا كانت القيم الحرجة هي القيم القصوى المحلية أو الحدود الدنيا المحلية أو لا شيء. حاول استخدام المعلومات من الخطوات السابقة والقليل من المنطق أولاً.
- إذا كنت تحاول القيام بذلك باستخدام طرق ما قبل الحساب فقط ، فيمكنك استبدال الخطوات المتعلقة بإيجاد القيم القصوى المحلية بحساب عدة أزواج إضافية (x ، y) مرتبة بين كل زوج من الخطوط المقاربة. بدلاً من ذلك ، إذا كنت لا تهتم لسبب نجاحها ، فلا يوجد سبب يمنع طالب ما قبل الحساب من أخذ مشتق كثير الحدود وحل N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
في حالات نادرة ، قد يكون للبسط والمقام عامل مشترك غير ثابت. إذا كنت تتبع الخطوات ، فسيظهر هذا على أنه صفر وخط مقارب عمودي في نفس المكان. هذا مستحيل وما يحدث بالفعل هو أحد الأمور التالية:
- الصفر في N (x) له تعدد أعلى من الصفر في D (x). يقترب التمثيل البياني لـ f (x) من الصفر عند هذه النقطة ، لكنه غير محدد هناك. أشر إلى هذا بدائرة مفتوحة حول النقطة.
- الصفر في N (x) والصفر في D (x) لهما تعدد متساوٍ. يقترب الرسم البياني من بعض النقاط غير الصفرية لقيمة x هذه ، ولكنه غير محدد هناك. أشر مرة أخرى إلى هذا بدائرة مفتوحة.
- الصفر في N (x) له تعدد أقل من الصفر في D (x). يوجد خط مقارب عمودي هنا.
